Lekcja 20 · Dynamika
Gdy brakuje miejsca: hamowanie wzrostu
Żaden klub nie rośnie w nieskończoność. Wchodzi pojemność sali K. Bez pochodnych: im bliżej sufitu, tym mniejszy przyrost.
Po tej lekcji
- Stosujesz nowe = stare + r·stare·(1 − stare/K) i wiesz, co robi nawias.
- Wypełniasz kartę: start, r, K — co jest daną, co parametrem.
- Widzisz spłaszczenie na wykresie i liczysz w Excelu oraz Pythonie.
Sytuacja i pytanie
To samo koło szachowe, ale sala ma 40 krzeseł. Nie da się mieć 200 członków. Pytanie opiekuna: jak rośnie stan, gdy im bliżej 40, tym trudniej kogoś namówić? Adresat: ten sam opiekun co na lekcji 19 — teraz ma nie obiecywać dyrektorowi „co roku +10% bez końca”.
Karta modelu: dane, założenia, parametry
| Wielkość | Symbol | Wartość | Jednostka | Skąd się wzięła | Rodzaj |
|---|---|---|---|---|---|
| Stan na start | x₀ | 8 | osoby | lista po wrześniu | dana |
| Tempo, gdy pusto | r | 0,4 | 1/krok | kalibracja „na oko” | parametr / założenie |
| Pojemność sali | K | 40 | osoby | liczba krzeseł | dana |
| Liczba kroków | n | 15 | lata albo sezony | pytanie | parametr |
| Nikt nie wychodzi inaczej niż przez tłok | — | tak | — | umowa modelu | założenie |
| Stan po kroku | x' | x + r·x·(1−x/K) | osoby | wzór | wynik |
nowe = stare + r × stare × (1 − stare / K)
Gdy x jest małe wobec K, nawias ≈ 1 i przyrost jest prawie jak procent r. Gdy x ≈ 40, nawias ≈ 0 i wzrost gaśnie. Gdy x = K, stoi. Gdy x > K, nawias ujemny — model ciągnie w dół do K; powyżej pojemności jest sztuczny i wniosek ma to powiedzieć.
Jeden krok ręcznie: x = 8, r = 0,4, K = 40 → 8 + 0,4×8×(1−8/40) = 8 + 3,2×0,8 = 10,56.
Wniosek: Klub zbliża się do 40 osób, o ile r = 0,4 jest stałe i K naprawdę wynosi 40 krzeseł. Model nie widzi, że część osób rzuca szachy w maju, ani że można donieść krzesła z sali obok.
Sprawdź się. Czynnik (1 − x/K) robi to, że:
Ćwiczenia samodzielne
- Jeden krok ręcznie: x=8, r=0,4, K=40 (jak na lekcji 16).
- Python 15 kroków, matplotlib, PNG.
- Excel z r i K w $F$1, $F$2.
- Co jeśli start = 40? Co jeśli start = 50 (powyżej K)? Policz 3 kroki i skomentuj, czy model jeszcze ma sens.
Odpowiedzi (dopiero po samodzielnej pracy)
- 10,56.
- Krzywa idzie do 40.
- Wypełnianie w dół.
- x=K: stoi. x>K: nawias ujemny, spada w stronę K. Powyżej K model jest sztuczny — napisz to we wniosku.