Lekcja 15 · Liczby
Procent składany krok po kroku
Każdy rok mnożymy przez 1+p, od nowej kwoty. To już model lokaty w wersji rocznej — z kartą, skąd procent i co bank robi inaczej.
Po tej lekcji
- Liczysz 3 lata ręcznie dla 1000 zł i 5%.
- Widzisz różnicę wobec 15% raz (procent zwykły z lekcji 14).
- Rysujesz krzywą w matplotlib (lekcja 10) albo w Excelu.
Sytuacja i pytanie
Babcia wpłaca wnuczce 1000 zł na lokatę „na start liceum”. Bank w ulotce pisze 5% w skali roku, kapitalizacja raz w roku. Pytanie: ile będzie na koncie po 3 latach, jeśli nic nie wypłacamy i oprocentowanie się nie zmieni? Adresat: rodzic, który ma porównać tę lokatę z „po prostu schować w skarpecie”.
Karta modelu: dane, założenia, parametry
| Wielkość | Symbol | Wartość | Jednostka | Skąd się wzięła | Rodzaj |
|---|---|---|---|---|---|
| Kapitał początkowy | K₀ | 1000 | zł | umowa / wpłata | dana |
| Oprocentowanie roczne | p | 5 | % / rok | ulotka; u nas stałe | dana / założenie stałości |
| Liczba lat | n | 3 | lata | pytanie | parametr (może być 4, 8…) |
| Kapitalizacja | — | raz w roku | — | założenie szkolne | założenie |
| Brak wpłat i wypłat | — | tak | — | umowa modelu | założenie |
| Kapitał po n latach | Kₙ | ? | zł | razy (1+p) co rok | wynik |
Kn+1 = Kn × (1 + p) p = 0,05 K0 = 1000
| Rok n | Rachunek | Kₙ (zł) |
|---|---|---|
| 0 | start | 1000,00 |
| 1 | 1000 × 1,05 | 1050,00 |
| 2 | 1050 × 1,05 | 1102,50 |
| 3 | 1102,50 × 1,05 | 1157,63 |
Trzy razy 5% to nie to samo co 15% raz od tysiąca (wtedy byłoby 1150 zł). Różnica 7,63 zł bierze się stąd, że w roku 2 i 3 procent liczy się już od odsetek. To jest cały „składany”.
Wniosek: Po 3 latach będzie około 1158 zł, o ile 5% jest stałe, kapitalizacja raz w roku i nikt nie dopłaca ani nie wypłaca. Bank w prawdziwej umowie może liczyć dni i podatki inaczej — tego model nie widzi.
Sprawdź się. Dlaczego 3×5% to nie 15% raz?
Ćwiczenia samodzielne
- Policz rok 4 ręcznie od 1157,63.
- Excel: A2=1000, A3=
=A2*1.05, wypełnij do A10. Porównaj z Pythonem z lekcji 10. - Ile da 1000 zł przez 3 lata przy 5% składanym, a ile przy jednorazowych 15%?
- Wykres matplotlib dwóch serii: 5% i 7% od 1000 zł, 8 lat.
Odpowiedzi (dopiero po samodzielnej pracy)
- 1215,51 zł.
- Ma się zgadzać do grosza (uwaga na zaokrąglenia wyświetlania).
- Składany ≈ 1157,63; 15% raz = 1150.
- 7% wyraźnie wyżej po kilku latach.